El estudio de las medias posibles entre dos números fue ampliamente tratado por los matemáticos pitagóricos. La más natural, llamada "media aritmética" o simplemente "promedio", ha sido conocida por todos los pueblos. Su expresión matemática es:
La principal propiedad de esta media es su equidistancia con los términos extremos, que es lo mismo que decir que la terna (a,m,b) forma una progresión aritmética. De ahí el nombre de la media.
Pero los pitagóricos dedujeron multitud de medias más. Para proceder a su descripción sistemática, llamaremos:
a: término mayor
b: término menor
d: diferencia entre ambos, o sea d = a - b
a: diferencia entre el término mayor y la media, o sea a = a - m
b: diferencia entre la media y el menor, o sea b = m - b.
Obviamente, es siempre a+b = d. Observemos también que los valores (b,m,a) forman siempre una sucesión creciente. Llamaremos por ello "términos extremos" a los a y b, y “término central” al m. Los "términos mayores" serán (a,m), y los "términos menores" los (b,m).
Con ayuda de estos símbolos y terminología, traduciremos la propiedad antes indicada de la media aritmética, o primera media de los pitagóricos:
α = b
Una segunda media, la que hoy llamamos geométrica, surge al imponer la condición de que el término central es al menor como el mayor al central. Algebraicamente:
De donde resulta, en notación moderna:
Incidentalmente, de ahí resulta también:
Y también otra interesante relación entre los intervalos:
Finalmente, se cumple en esta media que m2 = ab, es decir, que un cuadrado de lado igual a la media tiene un área equivalente a la de un rectángulo definido por los términos extremos como lados. De ahí el nombre de media geométrica, por su relación con la construcción de figuras y cuadratura de éstas, problema que tenía muy sensibilizados a los matemáticos antiguos.
La tercera media, también muy conocida, es llamada harmónica, y resulta de imponer la condición de que las diferencias sean proporcionales precisamente a los términos, como ocurre en la terna (3,4,6), donde
En general:
Modernamente tiende a interpretarse esta media diciendo que la sucesión de los inversos de los tres números forma progresión aritmética. O, de otra forma, que la inversa de la media harmónica es la media aritmética de los inversos de los términos. En ambos casos, se obtiene sin dificultad la fórmula de esta media:
El origen del nombre radica en las propiedades musicales de las notas emitidas por cuerdas de igual tensión correspondientes a cuerdas de longitudes en proporción harmónica. Por ejemplo, en el llamado "acorde perfecto", do-mi-sol estas longitudes son (15,12,10).
Hasta aquí, todo es bastante conocido. Pero los pitagóricos avanzaron bastante más en este terreno. Para empezar, definieron una cuarta media, la antiharmónica, donde los intervalos están en razón inversa a los extremos:
De donde resulta .
Un ejemplo es la terna (3,5,6), donde es fácil advertir que los intervalos están invertidos respecto a la harmónica (3,4,6) vista anteriormente.
de los pitagóricos, la razón entre los intervalos es igual a la razón entre los términos menores:
Esto se da, por ejemplo, en la sucesión (2,4,5). El cálculo general, en notación moderna, conduce a la resolución de la ecuación de segundo grado:
m2 - (a - b)m – b2 = 0
es similar. En este caso, la razón entre los intervalos es igual a la razón entre los términos mayores:
Un ejemplo es la sucesión (1,4,6). Nuevamente llegamos a una ecuación de segundo grado:
m2 - (a - b)m – a2 = 0
Observemos que las medias 2a, 4a, 5a y 6a agotan todas las posibles combinaciones del cociente α/β con los valores de la terna (b,m,a).
Las anteriores medias fueron las definidas y utilizadas por los pitagóricos clásicos. Pero, por influencia de la sacralidad del número tetraktys (el 10, igual a la suma de los cuatro primeros), los sucesores de Pitágoras definieron otras medias para conseguir que el número de éstas fuera 10, para lo cual utilizaron nuevas igualdades, con auxilio esta vez de la diferencia entre los extremos δ. Fueron las siguientes:
La diferencia entre los menores es a la diferencia entre los extremos como el menor es al mayor. O sea:
De donde m = 2b – b2/a. Un ejemplo: (6,8,9).
Similar a la anterior: la diferencia entre los mayores es a la diferencia entre los extremos como el menor es al mayor. O sea:
De donde m = a - b + b2/a. Un ejemplo: (6,7,9). Observemos que las diferencias están ahora invertidas, como ocurría en la cuarta media respecto de la tercera.
La diferencia entre los menores es a la diferencia entre los extremos como el término menor es al central. O sea:
Nuevamente nos vemos conducidos ahora a una ecuación de segundo grado:
m2 - bm - b(a-b) = 0
Una sucesión regida por esta media es (4,6,7).
Complementando la anterior, la diferencia entre los mayores es a la diferencia entre los extremos como el término menor es al central. O sea:
Y también ahora tenemos una ecuación de segundo grado:
m2 - am + b(a-b) = 0
Sin embargo, observemos que las soluciones de ésta son:
m = [a ± (a-2b)]/2
Es decir, (a-b) y b. Por tanto, esta décima "media" no es en rigor tal, sino el término menor, o la diferencia entre ambos cuando ésta queda entre los valores b y a. Debe, pues, ser considerada como una media falsa, definida por inadvertencia. Una sucesión regida por esta media es (3,5,8), pero también (3,3,8).