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Cuando un globo de helio asciende en el aire actúan sobre el globo las siguientes fuerzas: El peso del globo Fg=–mgj . El empuje Fe= fVgj, siendo f la densidad del fluido (aire). La fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire |
Dada la fuerza conservativa podemos determinar la fórmula de la energía potencial asociada, integrando
La fuerza conservativa peso Fg=–mgj está asociada con la energía potencial Eg=mg·y.
Por la misma razón, la fuerza conservativa empuje Fe= Vg j está asociada a la energía potencial Ee=-fVg·y.
Dada la energía potencial podemos obtener la fuerza conservativa, derivando
La energía potencial asociada con las dos fuerzas conservativas es
Ep=(mg- fVg)y
A medida que el globo asciende en el aire con velocidad constante experimenta una fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire. La resultante de las fuerzas que actúan sobre el globo debe ser cero.
f Vg- mg-Fr=0
Como fVg> mg a medida que el globo asciende su energía potencial Ep disminuye.
Empleando el balance de energía obtenemos la misma conclusión
El trabajo de las fuerzas no conservativas Fnc modifica la energía total (cinética más potencial) de la partícula. Como el trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo y la energía cinética Ek no cambia (velocidad constante), concluimos que la energía potencial final EpB es menor que la energía potencia inicial EpA.
En la página titulada "movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido ideal", estudiaremos la dinámica del cuerpo y aplicaremos el principio de conservación de la energía.
Energía potencial de un cuerpo parcialmente sumergido
En el apartado anterior, estudiamos la energía potencial de un cuerpo totalmente sumergido en un fluido (un globo de helio en la atmósfera). Ahora vamos a suponer un bloque cilíndrico que se sitúa sobre la superficie de un fluido (por ejemplo agua).
Pueden ocurrir dos casos:
Que el bloque se sumerja parcialmente si la densidad del cuerpo sólido es menor que la densidad del fluido, s< f.
Que el cuerpo se sumerja totalmente si s f.
Cuando el cuerpo está parcialmente sumergido, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas el peso mg=sSh·g que es constante y el empuje fSx·g que no es constante. Su resultante es
F=(-sShg+fSxg)j.
Donde S el área de la base del bloque, h la altura del bloque y x la parte del bloque que está sumergida en el fluido.
Tenemos una situación análoga a la de un cuerpo que se coloca sobre un muelle elástico en posición vertical. La energía potencial gravitatoria mgy del cuerpo disminuye, la energía potencial elástica del muelle kx2/2 aumenta, la suma de ambas alcanza un mínimo en la posición de equilibrio, cuando se cumple –mg+kx=0, cuando el peso se iguala a la fuerza que ejerce el muelle.
El mínimo de Ep se obtiene cuando la derivada de Ep respecto de y es cero, es decir en la posición de equilibrio.
La energía potencial del cuerpo parcialmente sumergido será, de forma análoga
El mínimo de Ep se obtiene cuando la derivada de Ep respecto de y es cero, es decir, en la posición de equilibrio, cuando el peso se iguale al empuje. -sShg+fSxg=0
El bloque permanece sumergido una longitud x. En esta fórmula, se ha designado como la densidad relativa del sólido (respecto del fluido) es decir, la densidad del sólido tomando la densidad del fluido como la unidad.
Fuerzas sobre el bloque
Cuando <1 o bien s< f, el cuerpo permanece parcialmente sumergido en la situación de equilibrio.
Cuando >1 o bien s> f, el peso es siempre mayor que el empuje, la fuerza neta que actúa sobre el bloque es
Fy=-sShg+fShg<0.
No existe por tanto, posición de equilibrio, el bloque cae hasta que llega al fondo del recipiente que supondremos muy grande.
Cuando =1 o bien s= f, El peso es mayor que el empuje mientras el bloque está parcialmente sumergido (x<h).
Fy=-Shg+ Sxg<0.
La fuerza neta que actúa sobre el bloque cuando está completamente sumergido (x h) es cero, y cualquier posición del bloque, completamente sumergido en el seno del fluido, es de equilibrio.
Curvas de energía potencial
La energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa peso es
Eg= sShgy
La energía potencial correspondiente a la fuerza de empuje tiene dos partes
Mientras el cuerpo está parcialmente sumergido (x<h)
Que corresponde al área del triángulo de la figura de la izquierda.
Cuando el cuerpo está totalmente sumergido (x h)
Que corresponde a la suma del área de un triángulo de base h, y la de un rectángulo de base x-h.
La energía potencial total es la suma de las dos contribuciones
Ep=Eg+Ef
Cuando la densidad del sólido es igual a la del fluido s= f, la energía potencial total Ep es constante e independiente de x (o de y) para x h como puede comprobarse fácilmente.