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Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

  1. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

  1. Binomio de Suma al Cuadrado

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

  1. Binomio Diferencia al Cuadrado

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

  1. Diferencia de Cuadrados

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

= a3 + b3 + 3 ab (a + b)

  1. Binomio Suma al Cubo

( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

  1. Binomio Diferencia al Cubo

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

  1. Suma de dos Cubos

  • Diferencia de Cubos

a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

  • Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

  • Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

  • Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

  • Producto de dos binomios que tienen un término común

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Ejemplos :

  1. Solución :

Aplicando producto notable en "a" que es una suma de binomios

x2 – 2x + 1 = ( x – 1)2

Luego : ( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 + (x3 + 1)2

Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos :

(x3 – 1)2 + (x2 + 1)2

(x3)2 - 2x3 (1) + 1 + (x3)2 + 2x3 (1) + 1

(x3)2 + (x3)2 + 2 = 2 (x3)2 + 2

= 2x6 + 2 = 2 (x6 + 1)

  1. Efectuar : ( x2 – 2x + 1) ( x2 + x + 1)2 + ( x3 + 1)2

M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

Solución

Ordenando los productos notables tenemos :

( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

* **

Aplicando : cubo de la suma de un binomio en " * ", tenemos :

( a + b ) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

Aplicando el producto de suma de cubos en : "* *", tenemos :

( a2 + b2 ) (a4 – a2 b2 + b4) = a6 + b6

Remplazando en la expresión inicial tenemos :

( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

Ordenando los factores tenemos :

( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

¨

aplicando productos notables en "¨ " :

( a6 + b6 ) ( a6 + b6 ) = a12 – b12 + b12 = a 12 Rpta.